La matematica di DecKreative

Salve a tutti! Sono Marco Paoletti di Maremma che giochi, e vi parlerò della matematica alla base di DecKreative!

DecKreative presenta tra le sue categorie di opportunità creative quella dei dadi; non soltanto i comuni dadi a sei facce, ma anche dadi più inusuali e solitamente utilizzati per giochi di ruolo, per tabelle casuali o per particolari categorie di giochi da tavolo.

Francesco, l’autore del gioco, mi ha chiesto di aiutarlo nel bilanciamento degli esiti dei lanci di dado all’interno del mazzo. Per la precisione, le sue richieste erano molteplici e da soddisfare contemporaneamente (parliamo dunque di un “sistema di vincoli”).

1. Distribuzione degli esiti
   La richiesta più importante: ogni dado avrebbe dovuto essere bilanciato, per non avere risultati più probabili di altri al momento di pescare una carta casuale.
   Questo richiedeva che la distribuzione degli esiti dei lanci all’interno del mazzo fosse perfettamente equilibrata. Per esempio – per quanto riguarda il D4 – dovevano esserci lo stesso numero di 1, di 2, di 3 e di 4, guardando all’interezza del mazzo stesso.
   
2. Equilibrio del mazzo
   La distribuzione dell’intero gruppo dei dadi tra carta e carta doveva essere il più equilibrata possibile. Non dovevano essere presenti casi estremi in cui la carta A presentasse tutti esiti alti (per esempio 4 sul D4, 6 sul D6, 8 sul D8… e così via) e la carta B presentasse tutti esiti bassi (quindi 1 sul D4, 1 sul D6, 1 sul D8…)
   
3. Equilibrio della singola carta
   Anche ogni singola carta non doveva avere troppi dadi con valori simili, per non renderla banale e noiosa. Ma soprattutto non doveva avere un esito eccessivo di “bilici”, ovvero il “pesca un’altra carta” che simula il dado fisico che rimane appunto “in bilico” (o viene irrimediabilmente perso) e deve essere quindi tirato nuovamente.

Ma perché introdurre un bilico?! Perché complicarsi la vita?
Non potevamo semplicemente mettere altre facce sui dadi di ogni carta?!
Purtroppo no.

Per illustrarvi la problematica, useremo il dado più semplice di tutti, il D4.
Il mazzo di DecKreative è composto da 54 carte (più il Folle, che è considerato fuori statistica).
Il D4 ha 4 facce. 54 diviso 4 fa 13, con il resto di 2. Ed è proprio su questo resto che dobbiamo lavorare. Potremmo risolvere assegnando un “1” a una delle carte che avanzano e un “2” all’altra carta?
Potremmo, ma la nostra distribuzione delle facce sarebbe la seguente:

Cosa ne conseguirebbe? Che nel totale del mazzo, pescando una carta a caso, il dado non sarebbe bilanciato, ma erroneamente distribuito verso il basso.

Ora dobbiamo parlare un attimo del “valore atteso” e della “semisomma”. Che roba è?
Il primo è un valore che rappresenta quel che ci aspettiamo di ottenere quando diamo inizio a un evento che abbia una distribuzione probabilistica, proprio come il tiro di un dado o la pesca di una carta.
Nel caso che ci interessa, il valore atteso di un dado è pari alla semisomma dei suoi estremi, che si traduce nel sommare il suo valore minore a quello maggiore, e dividere per 2.

Torniamo al nostro problema. Il valore atteso della distribuzione A è:
(1*14+2*14+3*13+4*13)/54=2,46
La semisomma di un D4, è però:
(1+4)/2=2,50.
I valori si discostano, quindi il dado non è equilibrato e pertanto il nostro primo tentativo è errato.

Se avessimo scelto di assegnare un “1” e un “4” alle due carte “di resto”, la situazione sarebbe lievemente migliorata dal punto di vista del valore atteso medio del dado.

(1*14+2*13+3*13+4*14)/54=2,50
Già meglio: il valore atteso coincide con la semisomma.
Ma il dado resta comunque non esattamente equilibrato, essendo sbilanciato o verso gli esiti bassi o verso gli esiti alti. Non ci basta. Occorre dunque introdurre un trucchetto.

Se introducessimo un quinto valore “artificiale” chiamato “bilico”, che porta a pescare una carta diversa, annulleremmo il problema dell’equi-distribuzione delle facce: basterebbe a quel punto inserire una distribuzione semplice e far “ritirare i dadi” ogni volta che l’esito è incerto (cioè troviamo un bilico).
La nostra soluzione è dunque:

Matematicamente, ne consegue che il valore che possiamo assegnare forfettariamente a ogni bilico è proprio il valore atteso di un dado correttamente equilibrato. Nel caso del D4: “bilico=2,50”, come abbiamo visto prima.
La soluzione finale del primo problema (la distribuzione degli esiti) è dunque la seguente:

Abbiamo risolto il problema 1, passiamo al 2: l’equilibrio del mazzo nel suo insieme.
Cosa significa in termini matematici? Che gli esiti di tutti i dadi devono orbitare intorno a una media globale. Da cosa potremmo partire se non dal calcolare questa media, e cioè dal calcolare il valore atteso medio di ogni carta?
Non è difficile: conosciamo il valore atteso medio di ogni dado, che è pari alla semisomma dei suoi estremi. Quindi: D4=2,5; D6=3,5; D8=4,5; D10=5; D12= 6,5; D20= 10,5; D100=5.
Sommando tutte le semisomme otteniamo 37,5, che il valore atteso medio di ogni carta.
Dobbiamo quindi ridurre il più possibile lo scarto intorno al valore atteso della carta, controllando che contemporaneamente la condizione 1 sia rispettata. Come possiamo fare?
Introducendo il concetto di “scarto quadratico medio” (per gli amici SQM), che è uno strumento della statistica che ci permette di misurare la distanza degli esiti di una distribuzione rispetto alla sua media.

Tramite una matrice di valori creata su un foglio di calcolo ho quindi creato un sistema di controlli automatici che mi permettesse di lavorare contemporaneamente sulla soddisfazione del vincolo 1 e del vincolo 2.

Tra gli esiti della tabella qua sopra si può vedere un bilico relativo al D10, rappresentato matematicamente dal “4,5”. Questo significa che se state tirando un D10 e pescate quella carta, ne dovrete pescare un’altra al suo posto (a meno che il vostro gioco o la vostra house rule non preveda altro: in fondo DecKreative è uno strumento per creativi!)
Ecco spiegata anche la ragione per cui – pur avendo 9 set di D6 utilizzabili – è stato deciso di utilizzarne uno intero per soli bilici.
Come sono giunto a una distribuzione il più possibile equa?
Tramite un certosino lavoro di compensazione tra valori alti e valori bassi nelle distribuzioni.
Potremmo riassumere il tutto con questo piccolo algoritmo:

Come avrete intuito, la costruzione di uno strumento di gioco come DecKreative richiede conoscenze matematiche, studio e intuizione. Il mio lavoro è perfettibile e non sono entrato in questa disamina nei dettagli del processo matematico.
Spero comunque che vi sia stato utile e vi abbia incuriositi conoscere il dietro le quinte e una piccola parte del lavoro che c’è dietro il bilanciamento di un gioco.

Alla prossima!
Marco “Maremma che Giochi” Paoletti
www.facebook.com/MaremmacheGiochi/